Параллельные плоскости. Свойства параллельных плоскостей

Вкратце рассмотрим определения, которые пригодятся в изучении нового материала.

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Для начала давайте вспомним определение параллельных плоскостей и признак параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Простейшая поверхность – плоскость. В окружающем мире поверхность множества предметов подобна геометрической плоскости, например, пол в комнате, стол, книга, поверхность воды в озере или бассейне. Большинство упомянутых предметов – прямоугольной формы. Если разглядывать их с большого расстояния, то они напоминают параллелограммы. Вот почему довольно часто плоскость на рисунке изображается в виде параллелограмма, но ее можно изобразить и по-другому – любой замкнутой линией.

Строгого определения плоскости в рамках геометрии не дают, это понятие считается исходным, как понятия точки или прямой в планиметрии. Лишь некоторые ее свойства косвенно указываются с помощью аксиом. В реальной жизни примерами плоскости являются поверхность стола или лист бумаги. Однако, в отличие от них, плоскость не имеет границы, она бесконечна (как и прямая). Плоскость не имеет кривизны, поэтому, например, поверхность шара плоскостью не является. При изображении плоскости на чертежах ее обычно показывают в виде параллелограмма, при этом традиционно их обозначают маленькими буквами греческого алфавита, которые в планиметрии используются для обозначения углов (α, β, γ и т. п. ).

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥ ∥. Если заданы две плоскости: α α и β β, являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ∥ β α‖β. На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α.

Свойства плоскости

• Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.
• Прямая либо параллельная плоскости, либо находится на ней, либо пересекает ее в одной точке.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, значит они являются параллельными.

Если на плоскости проведена прямая, то она разобьет ее на две фигуры, которые именуются полуплоскостями.

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

А теперь рассмотрим свойства параллельных плоскостей подробнее.

Первое свойство. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пусть дана плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рассмотрим прямые а и b. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости γ и не пересекаются. Если бы прямые а и b пересекались, то их общая точка принадлежала бы плоскостям α и β, чего быть не может, так как по условию они параллельны.

Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т.е. прямая а параллельна прямой b. Что и требовалось доказать.

Наглядным представлением данного свойства служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты – эти линии параллельны.

Второе свойство. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство. Пусть даны параллельные плоскости α и β. И пусть даны параллельные отрезки AB и CD, которые лежат на параллельных прямых а и b, расположенных между плоскостями α и β. Докажем, что отрезок AB равен отрезку CD.

Две параллельные прямые а и b образуют единственную плоскость γ. Плоскость γ, проходящая через параллельные прямые а и b, пересекает плоскости α и β по прямым AC и BD. По первому свойству, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, следует, что прямые AC и BD – параллельны. А, значит, четырехугольник ABDC – параллелограмм, так как в нем противолежащие стороны попарно параллельны. По свойству противоположных сторон параллелограмма, следует, что отрезок AB равен отрезку CD. Что и требовалось доказать.

Третье свойство. Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом единственная.

Доказательство. Пусть дана плоскость α и точка M, которая не лежит в данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b. Через точку M проведем прямые а1 и b1, параллельные прямым а и b соответственно.

Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а1 и b1. Плоскость β – искомая, так как она проходит через точку M и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.

Докажем единственность плоскости β. Предположим, что существует другая плоскость β1, которая проходящая через точку M и параллельна плоскости α.

Плоскость γ, проходящая через точку М и прямую а, пересекает плоскости β и β1, так как с каждой из них плоскость гамма имеет общую точку М.

Следовательно, линии пересечения l и l1 плоскости гамма с плоскостями β и β1, проходят через точку М и параллельны прямой а. Получили, что через точку М, не лежащую на прямой а, проходят две прямые, параллельные прямой а. А это противоречит теореме о том, что через точку М, не лежащей на прямой а, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Значит, наше предположение неверно и плоскость β единственная. Что и требовалось доказать.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α α и β β, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A1x+B1y+C1z+D1=0, а также задана плоскость β β, которую определяет общее уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A2x+B2y+C2z+D2=0.

Теорема. Для параллельности заданных плоскостей α α и β β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

open

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0  и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0   являются параллельными, а значит не имеют общих точек.

Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, то есть, система

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0

open

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

не имеет решения.

Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы.

Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 не имеют ни одной общей точки, то есть, они параллельны.

А теперь подведем итоги нашего урока. На этом уроке мы рассмотрели некоторые из свойств, которыми обладают две параллельные плоскости в пространстве. Узнали, что если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Доказали, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. А также доказали свойство о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее.