Векторы в пространстве. Понятие вектора в пространстве. Равенство векторов

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом. В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка. 

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. 

Здесь показаны сразу три вектора: У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ.

Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец находится в одной и той же точке.

Длина вектора АВ — это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину. Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора — это вектора, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. 

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например:

 →

  a . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так:

 →

 AB.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 будем понимать любую точку плоскости или пространства. Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Под длиной вектора   AB понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

                           →                                             −−→  

Длину вектора AB принято обозначать так: open AB. Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин “длина вектора”. Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление. Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

 →     →

  a   и  b  , у которых направления не совпадают, то есть, являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом:

 →     →

  a ↑↓  b  .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

                                                                                 →    →     →  →

Угол φ = ∠ AOB φ=∠AOB называется углом между векторами  a = OA и  b = OB.

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Итак, на сегодняшнем уроке мы ввели понятие вектора в пространстве, рассмотрели основные определения, касательно векторов в пространстве. Мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарных векторов.