Луч и угол

Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.

На этом уроке мы поговорим о двух основополагающих понятиях геометрии – луче и угле. Эти слова вы слышали еще в детстве: солнечный луч известен каждому, кто-то мог слышать про рентгеновские лучи. Угол есть у стола, а кого-то из вас, возможно, иногда ставили в угол комнаты.

А сегодня мы постараемся разобраться, что означают эти слова в геометрии.

Геометрический луч в геометрии

На самом деле «геометрический» луч не намного отличается от солнечного. Чем интересен солнечный луч? У него есть начало – солнце, а вот конца нет: его можно ограничить своей ладошкой или землей, но если бы препятствия не было – он шел бы и дальше. То есть он имеет начало, а с другой стороны – бесконечен, как прямая.

Правило

Соответственно, определение луча:

Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка играет роль солнца – там «начинается» луч! То есть луч имеет начало, но не имеет конца, в отличие от отрезка, который ограничен с двух сторон.

Точка, которой ограничен луч, называется началом этого луча.

Запомните

Вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведем прямую а, отметим на ней точку О, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч, как правило, обозначают как одной малой латинской буквой, например, а,

так и двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

Запомните

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая – это любая точка на луче. Так делается всегда!

Важно

Понятие луча связано со следующие аксиомы геометрии.

Аксиома 1. Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одного и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей — по разные стороны от этой точки.

Аксиома 2. От начала любого луча может быть отложен отрезок, который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственным.

Теперь рассмотрим понятие угол.

Определения

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Лучи – это стороны угла.

В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон – это вершина угла.

Можно сказать и по-другому. Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно.

Слово «угол» иногда заменяют знаком. Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой.

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость, а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Определение

Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk, так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее будем вводить понятия, которые связаны с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развернутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развернутый.

Определение

Угол называется развернутым, если его стороны – дополнительные лучи.

Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости, для которых эта прямая является границей. Считают, что прямая принадлежит каждой из двух полуплоскостей, для которых она является границей. А так как стороны развернутого угла образуют прямую, то можно также сказать, что развернутый угол — это полуплоскость, на границе которой отмечена точка — вершина угла.

Запомните

Замечание 1. Обратите внимание: многие считают, что развернутый угол – 180о. Это верно, но это не определение! Не путайте, пожалуйста! Понятие градусной меры нами в курсе геометрии пока введено не было.

Замечание 2. Углом между прямыми называется наименьший угол (или один из наименьших углов), образованный при их пересечении.

В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развернутого.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Во-вторых, плоскость, на которой изображен любой угол, кроме развернутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю. То есть, у каждого угла есть внутренняя и внешняя области.

В развернутом углу, любая часть считается внутренней.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Градус обозначают знаком «0».

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного 1/60 части градуса, называется минутой и обозначается знаком «/», 1/60 часть минуты называется секундой и обозначается знаком «//». Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».

Так как градус составляет 1/180 часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение

Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита.

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Важно

  1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.
  2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то можно провести  через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены. Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены.

Определение

Два угла называют равными, если их можно совместить наложением.

Определение

Биссектрисой угла называют луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит внутри него, то говорят, что луч делит этот угол на два угла.

Ели угол развернутый, то любой луч, не совпадающий с его сторонами, делит этот угол на два угла.

Материал для углубленного изучения

Двугранный угол.

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но в геометрии есть еще один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур – двугранный угол.

Определение

Двугранный угол – пространственная геометрическая фигура, которая образована двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ. Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

Итак, на этом уроке мы с вами разобрали некоторые базовые понятия геометрии — луч и угол.

Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой.

Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.

Для закрепления нового материала выполните домашнюю работу.

1.Как обозначают угол?

  1. Какой угол называют развернутым?
  2. Как называют части, на которые прямая делит плоскость?
  3. Какие два угла называют равными?
  4. Начертите три луча f, s, и n с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.
  5. Как обозначают луч?
  6. Какие два луча называют дополнительными?
  7. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была: 1) точкой; 2) отрезком; 3) лучом.
Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх