Сравнение отрезков и углов

На сегодняшнем уроке мы научимся сравнивать отрезки и углы, а также измерять отрезки.

Что такое отрезок

Определение

Отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон. Отрезок нельзя продолжить ни в одну сторону.

Запомните

Отрезок можно построить двумя способами.

Первый способ — поставить две точки и соединить их по линейке.

Второй способ — начертить прямую и отметить на ней две точки.

Согласно привычному определению, отрезком называют часть прямой, ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

По-другому можно сказать и так.

Отрезок — это часть прямой вместе с ограничивающими эту часть точками. Понятно, что две точки не должны совпадать, то есть, лежать в одном и том же месте на прямой.

В математике давно уже принято обозначать точки, и соответственно — отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать какой-нибудь отрезок, в большинстве случаев его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Правило

Также можно сказать, что отрезок — это совокупность всех точек, которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Важно

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Что такое угол в геометрии

Угол — это геометрическая фигура, состоящая из точек и двух лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Основные свойства измерения углов

У каждого угла есть определенная градусная мера, большая нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир.

Важно

Правила измерения отрезков и углов

1) Длина — главное свойство отрезка. Длина выражается только положительным числом, то есть она всегда больше нуля.

2) Точка делит отрезок на две части. Длина целого отрезка равна сумме длин составляющих его отрезков.

3) Если три точки лежат на одной прямой, то одна из них расположена между двумя другими.

4) Из данной точки на прямой можно построить только по одному отрезку определенной длины в каждую сторону.

5) Основное свойство угла — градусная мера. Она всегда больше нуля.

6) Луч, проходящий между сторонами угла, разбивает его на два угла. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбит лучом.

7) Развернутый угол — это угол, равный 180°.

8) От любого луча, лежащего на прямой, в заданной полуплоскости можно построить только один угол с заданной градусной мерой.

Равенство геометрических фигур.

Среди всего множества фигур, существующих в геометрии, есть фигуры, которые одинаковые по формы, но размеры у них разные, а есть и те, у которых одинаковые и размеры, и форма.

Определение

Равными называются геометрические фигуры, одинаковые по форме, имеющие одинаковые размеры. Другими словами, если геометрические фигуры можно совместить наложением, то они равны.

Под наложением в элементарной геометрии понимают один из основных приемов доказательства теорем о равенстве фигур. В геометрии принято считать аксиомой, что плоские фигуры можно передвигать по плоскости без изменения их вида и свойств. Наложение одной фигуры на другую достигается передвижением их по плоскости, причем это передвижение может иногда сопровождаться и переворачиванием.

Сравнение отрезков и углов

Отрезки и углы можно сравнивать с помощью описанного выше способа – наложения. Рассмотрим этот процесс подробней.

Возьмите две палочки (можно китайские), две спички или два карандаша. А теперь приложите одну палочку к другой так, чтобы левые концы их совпадали. Если совпадут и правые концы, то эти палочки равны.

Теперь от одной палочки отломите кусочек (и выбросьте его в мусор). Попробуйте сейчас приложить вторую палочку к первой (левые концы должны совпадать, как и при первом эксперименте!). Что произошло? Вторая палочка короче первой, так как правые концы не совпадают! Следовательно, вторая палочка меньше первой (по-иному можно сказать, что первая больше второй).

В этом и состоит принцип наложения. Только делать это мы будем, используя наше воображение.

Даны два отрезка: первый АВ и второй СD. Совместим отрезок с отрезком так, чтобы точка А совпала с точкой С. Смотрим теперь на точки В и D. Совпали они? Значит, отрезки равны. Не совпали? Значит, один отрезок больше другого.

Проблема только в том, что далеко не все люди могут без проблем определить, совпадут отрезки, или, всё-таки, один отрезок чуть-чуть короче другого. Здесь на помощь приходит циркуль. Возьмите циркуль и измерьте им отрезок . Не меняя раствора циркуля, приложите теперь его к отрезку . Теперь вы точно видите, одинаковые это отрезки или нет.

Определение

Серединой отрезка принято называть точку, которая делит этот отрезок на два равных отрезка.

Например, если есть отрезок МК, а в середине его есть точка L, то именно эта точка  L и будет серединой отрезка.

Перейдем теперь к сравнению углов

Углы, также как и отрезки, можно сравнивать с помощью способа наложения.

Возьмем два разных угольника. Давайте попробуем совместить их так, чтобы вершина угла первого угольника совпадала с вершиной угла второго угольника, а его одна сторона совпадала со стороной второго угольника.

Таким образом можно увидеть, например, что углы, которые имеют общую вершину, не равны: угол первого угольника больше, нежели угол второго угольника.

Можно сравнить еще два угольника. С ними нужно проделать те же манипуляции, как и в первом случае.

Запомните

Здесь углы двух угольников, которые имеют общую вершину, могут совпасть. Следовательно, они равны.

Итак, если надо сравнить углы способом наложения, необходимо совместить вершины углов таким образом, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого угла. Если две другие стороны тоже совместятся, то углы равны.

Запомните

Если же две другие стороны не совместятся, то меньшим будет тот угол, который является частью другого.

Вершина совпадает с вершиной, луч совпадает с лучом, луч не совпадает с лучом, но проходит между сторонами угла, значит, угол меньше угла.

Вершина совпадает с вершиной, луч совпадает с лучом, луч не совпадает с лучом, и не проходит между сторонами угла, значит, угол больше угла.

Для такого сравнения углов нужен хороший глазомер. Но не все им обладают. Поэтому, можно использовать и другие способы сравнения, о которых мы поговорим на других уроках.

Определение

Биссектрисой угла называют луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит этот угол на два равных угла.

На этом уроке мы сравнивали отрезки и углы, а также измеряли отрезки.

Давайте подытожим все вышесказанное.

Фигуры в геометрии называют равными, если в результате наложения они полностью совмещаются.

Другими словами, равные фигуры имеют одинаковые форму и размер.

Отрезок и угол — это геометрические фигуры, их сравнивают методом наложения.

Задания для самостоятельной работы

1) На прямой расположен луч. От этого луча отложены два угла в разные полуплоскости — ∠ВАС и ∠ВАН. ∠ВАС + ∠ВАН = 160о. Постройте биссектрисы ∠ВАС и ∠ВАН и найдите угол между ними.

2) От луча АВ в одну сторону отложено два угла: ∠ВАС и ∠ВАН. ∠ВАС -∠ВАН = 60 о. Найдите угол между биссектрисами углов ∠ВАС и ∠ВАН.

3) Точки Н, К, М лежат на одной прямой. НК=6 cм, КМ=18 см. Найдите расстояние НМ для все возможных вариантов расположения точек.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх