Прямая и отрезок

Начнем сегодняшний урок мы вот с чего. Многие объекты окружающего мира похожи на различные геометрические фигуры. Зная особенности и свойства этих фигур, вы сможете лучше понимать устройство окружающих предметов подобной формы, делать чертежи и справляться со школьными заданиями на эту тему, а еще тем из вас, кто в будущем хочет стать инженером, дизайнером или архитектором, будет намного проще.

Планиметрия изучает двумерные фигуры, которые расположены на плоскости.

Любая фигура, будь она объемной, плоскостной или линейной, состоит из множества точек — это как бы математические аналоги атомов реального мира.

Простейшими фигурами планиметрии являются отрезок, луч и прямая.

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, достаточно просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не смогли прийти к единому определению.

Мы сегодня не будем запоминать все существующие определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, скорее всего, наиболее простым образом их описывают.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

Точка — это фигура в геометрии, которая не имеет никаких измеримых характеристик, кроме координат.

Прямая — это фигура в геометрии, у которой нет ни начала, ни конца.

Для изображения прямых на чертеже используют линейку. Но при этом можно изобразить лишь часть прямой, ведь вся прямая бесконечна. Принято обозначать прямые малыми латинскими буквами, а точки —большими латинскими буквами.

В тексте точку обозначают символом «(·)». Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами «∈» и «∉». Знак принадлежности можно запомнить, как зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «€».

Что такое точка

Точки можно различить по их местоположению. На любом рисунке точки поставлены в разных местах листа: в центре, справа, слева, вверху, внизу.

Какие бывают линии?

Запомните!

Линии состоят из точек.

Линии бывают кривыми и прямыми, замкнутыми и незамкнутыми.

У замкнутой кривой линии начало и конец находятся в одной точке. У незамкнутой кривой линии начало и конец не совпадают. Незамкнутую линию можно продолжить в обе стороны. Она бесконечна.

Прямую линию проводят по линейке.

Прямая линия бесконечна: ее можно продолжить в обе стороны.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку можно провести сколько угодно кривых линий.

Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.

Через две точки можно провести сколько угодно кривых линий.

НО!!! Через две точки можно провести только одну прямую линию.

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Совпадающие прямые

Две прямые, которые расположены в одной плоскости, могут либо пересекаться друг с другом (то есть, иметь одну общую точку), либо не пересекаться друг с другом (то есть, не иметь общих точек).

Возьмем произвольные четыре точки A, B, C, D, расположенные в одной плоскости и лежащие на одной прямой.

Проведем одну прямую через точки A и D, а вторую прямую – через точки В и С.

Очевидно, что вторая прямая наложится на первую. В этом случае говорят, что прямые AD и BC совместились или совпали.

Совпадающие прямые не являются ни пересекающимися, ни параллельными, поскольку имеют бесконечное множество общих точек. Все же, некоторые математики совмещенные прямые рассматривают, как частный случай параллельных прямых, что, в общем-то, недалеко от истины.

Скрещивающиеся прямые

Частный случай скрещивающихся прямых – перпендикулярные прямые.

Перпендикулярными прямыми называются две скрещивающиеся прямые, при пересечении которых образуются четыре прямых угла.

Чтобы сделать вывод являются ли скрещивающиеся прямые перпендикулярными, достаточно знать величину одного из четырех углов, которые образуют скрещивающиеся прямые – если любой из таких углов равен 90°, то и все три остальных будут также равны 90°, т. е., прямые будут перпендикулярными.

Если же какой-либо из углов не равен 90°, то ни один из углов не будет равен 90°, а, значит, такие прямые не будут перпендикулярными.

Свойство перпендикулярных прямых: через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Параллельные прямые

Прямые будут параллельными, если они не имеют общих точек и при этом лежат в одной плоскости.

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Что такое отрезок?

Две точки, которые ограничивают отрезок, называются концами отрезка.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Первый способ — поставить две точки и соединить их по линейке.

Второй способ — начертить прямую и отметить на ней две точки.

Как обозначают точки, прямые линии, отрезки

Точки принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита.

Прямую на чертеже обозначают двумя заглавными или одной строчной буквой латинского алфавита. Это будет звучать так: прямая АВ либо прямая а.

Отрезок на чертеже обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита. Например, отрезок СD.

Прямая, луч и отрезок – все это прямые линии, главное отличие которых друг от друга заключается в следующем:

• прямая не имеет ни начала, ни конца;
• луч имеет начало, но не имеет конца;
• отрезок имеет начало и конец.

Провести “настоящую” прямую или луч не представляется возможным, поэтому, ограничиваются построением отрезка, а чтобы различать отрезок, луч и прямую, нужно поставить или не ставить точку в начале и конце отрезка:

• отрезок с обеих сторон ограничивается точками;
• у луча точка ставится в его начале;
• прямая точками не ограничивается.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Действительно, эти понятия очень схожи между собой, но у них есть и принципиальное различие:

1.   Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
2.   Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
3.   Отрезок ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок — в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок — это вектор

Отрезки бывают двух видов:

1. Ненаправленные.
2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА — одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ➜ и ВА➜ — разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Правило.Направленные отрезки называются векторами. Векторы можно обозначать как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ➜. Модули векторов АВ➜ и ВА➜ равны.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия — это множество соединенных отрезков

Вершинами ломаной являются следующие точки:

1. Точка, с которой началась ломаная.
2. Точка, которой ломаная закончилась.
3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец — точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Важно.Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой — многоугольником.

На этом уроке мы выучили новые понятия.