Прямая и отрезок

Почему это важно знать?

Начнем сегодняшний урок мы вот с чего. Многие объекты окружающего мира похожи на различные геометрические фигуры. Зная особенности и свойства этих фигур, вы сможете лучше понимать устройство окружающих предметов подобной формы, делать чертежи и справляться со школьными заданиями на эту тему, а еще тем из вас, кто в будущем хочет стать инженером, дизайнером или архитектором, будет намного проще.

Определение

Раздел математики, изучающий объемные фигуры и законы их измерения, называется геометрией.

Планиметрия изучает двумерные фигуры, которые расположены на плоскости.

Любая фигура, будь она объемной, плоскостной или линейной, состоит из множества точек — это как бы математические аналоги атомов реального мира.

Простейшими фигурами планиметрии являются отрезок, луч и прямая.

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, достаточно просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не смогли прийти к единому определению.

Мы сегодня не будем запоминать все существующие определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, скорее всего, наиболее простым образом их описывают.

Запомните!

Определение

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

Точка — это фигура в геометрии, которая не имеет никаких измеримых характеристик, кроме координат.

Прямая — это фигура в геометрии, у которой нет ни начала, ни конца.

Для изображения прямых на чертеже используют линейку. Но при этом можно изобразить лишь часть прямой, ведь вся прямая бесконечна. Принято обозначать прямые малыми латинскими буквами, а точки —большими латинскими буквами.

В тексте точку обозначают символом «(·)». Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами «∈» и «∉». Знак принадлежности можно запомнить, как зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «€».

Что такое точка

Определение

Точка — это геометрическая фигура, из которой состоят все остальные геометрические фигуры. У точки нет размера и формы. Ее нельзя разделить на части. Точку ставят, слегка касаясь поверхности карандашом.

Точки можно различить по их местоположению. На любом рисунке точки поставлены в разных местах листа: в центре, справа, слева, вверху, внизу.

Какие бывают линии?

Запомните!

Линии состоят из точек.

Линии бывают кривыми и прямыми, замкнутыми и незамкнутыми.

У замкнутой кривой линии начало и конец находятся в одной точке. У незамкнутой кривой линии начало и конец не совпадают. Незамкнутую линию можно продолжить в обе стороны. Она бесконечна.

Прямую линию проводят по линейке.

Прямая линия бесконечна: ее можно продолжить в обе стороны.

Взаимное расположение прямой и точек

Запомните!

Через одну точку можно провести сколько угодно кривых линий.

Через одну точку можно провести сколько угодно прямых линий.

Через две точки можно провести сколько угодно кривых линий.

НО!!! Через две точки можно провести только одну прямую линию.

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Совпадающие прямые

Две прямые, которые расположены в одной плоскости, могут либо пересекаться друг с другом (то есть, иметь одну общую точку), либо не пересекаться друг с другом (то есть, не иметь общих точек).

Возьмем произвольные четыре точки A, B, C, D, расположенные в одной плоскости и лежащие на одной прямой.

Проведем одну прямую через точки A и D, а вторую прямую — через точки В и С.

Очевидно, что вторая прямая наложится на первую. В этом случае говорят, что прямые AD и BC совместились или совпали.

Совпадающие прямые не являются ни пересекающимися, ни параллельными, поскольку имеют бесконечное множество общих точек. Все же, некоторые математики совмещенные прямые рассматривают, как частный случай параллельных прямых, что, в общем-то, недалеко от истины.

Скрещивающиеся прямые

Определение

Две прямые, у которых есть одна общая точка, называются скрещивающимися.

Частный случай скрещивающихся прямых — перпендикулярные прямые.

Перпендикулярными прямыми называются две скрещивающиеся прямые, при пересечении которых образуются четыре прямых угла.

Чтобы сделать вывод являются ли скрещивающиеся прямые перпендикулярными, достаточно знать величину одного из четырех углов, которые образуют скрещивающиеся прямые — если любой из таких углов равен 90°, то и все три остальных будут также равны 90°, т. е., прямые будут перпендикулярными.

Если же какой-либо из углов не равен 90°, то ни один из углов не будет равен 90°, а, значит, такие прямые не будут перпендикулярными.

Свойство перпендикулярных прямых: через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

Параллельные прямые

Прямые будут параллельными, если они не имеют общих точек и при этом лежат в одной плоскости.

Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Что такое отрезок?

Запомните!

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Две точки, которые ограничивают отрезок, называются концами отрезка.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Определение

Можно сказать, еще по-другому.

Отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон. Отрезок нельзя продолжить ни в одну сторону.

Запомните

Отрезок можно построить двумя способами.

Первый способ — поставить две точки и соединить их по линейке.

Второй способ — начертить прямую и отметить на ней две точки.

Как обозначают точки, прямые линии, отрезки

Точки принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита.

Прямую на чертеже обозначают двумя заглавными или одной строчной буквой латинского алфавита. Это будет звучать так: прямая АВ либо прямая а.

Отрезок на чертеже обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита. Например, отрезок СD.

Запомните 

Прямая, луч и отрезок — все это прямые линии, главное отличие которых друг от друга заключается в следующем:

  • прямая не имеет ни начала, ни конца;
  • луч имеет начало, но не имеет конца;
  •     отрезок имеет начало и конец.

Важно понимать, что математическая прямая, луч или отрезок не имеют такого понятия, как толщина — это прямые линии, состоящие из совокупности точек, стоящих «плечом к плечу» рядом друг с другом. У математической точки нет никакой размерности — она может характеризоваться только координатами.

Провести «настоящую» прямую или луч не представляется возможным, поэтому, ограничиваются построением отрезка, а чтобы различать отрезок, луч и прямую, нужно поставить или не ставить точку в начале и конце отрезка:

  • отрезок с обеих сторон ограничивается точками;
  • у луча точка ставится в его начале;
  •     прямая точками не ограничивается.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Определение

Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. Чтобы у вас такого не происходило, давайте разбираться вместе. Действительно, эти понятия очень схожи между собой, но у них есть и принципиальное различие:

  1.   Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
  2.   Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
  3.   Отрезок ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок — в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок — это вектор

Отрезки бывают двух видов:

  1. Ненаправленные.
  2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА — одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ➜ и ВА➜ — разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Правило

Направленные отрезки называются векторами. Векторы можно обозначать как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ➜. Модули векторов АВ➜ и ВА➜ равны.

Запомните

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия — это множество соединенных отрезков

Определение

Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Важно

Вершинами ломаной являются следующие точки:

  1. Точка, с которой началась ломаная.
  2. Точка, которой ломаная закончилась.
  3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Запомните

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец — точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Важно

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой — многоугольником.

Запомните

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n — количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

На этом уроке мы выучили новые понятия.

Теперь вы знаете:

  1.   Точка — это геометрическая фигура, из которой состоят все остальные геометрические фигуры. У нее нет размера и формы. Ее невозможно разделить на части.
  2.   Линии бывают кривыми и прямыми, замкнутыми и незамкнутыми.
  3.   Отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон точками.
  4. Точки обозначают одной заглавной буквой латинского алфавита, прямые линии и отрезки — двумя заглавными буквами латинского алфавита. Прямые также можно обозначать одной строчной буквой латинского алфавита.

А теперь небольшое домашнее задание для закрепления материала.

  1. Дайте определение точки.
  2. Расскажите о совпадающих прямых.
  3. Что такое отрезок и как его обозначают?
  4. Что вы знаете об аксиоме параллельных прямых?
  5. Сколько существует способов для построения отрезков? Расскажите о них.
  6. Чем характеризуется математическая точка?
  7. Поддается ли измерению любой отрезок?
Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх