Измерение углов

Во время сегодняшнего урока мы изучим понятие смежных и вертикальных углов, свойства смежных и вертикальных углов. Также разберемся, в чем отличие аксиомы от теоремы.

Свойства смежных углов:

• Сумма смежных углов равна 1800.
• Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
• Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Развернутый угол — угoл, стороны которого лежат на одной прямой.

Прямой угoл — угoл, который равен половине развернутого угла.

Острый угол — угoл меньше прямого угла.

Тупой угoл — угoл больше прямого, но меньше развернутого.

Единицы измерения углов:

• Градус — величина (градусная мера) угла, равная части развернутого угла.
• Минута — часть градуса.
• Секунда — часть минуты.

Например, мы чертим прямую АС, в середину у нее точка В, из которой прочерчен луч ВD. В этом случае ∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD  — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развернутый угол, B — основание наклонной.

Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину.

Сумма смежных углов

Любые два смежных угла составляют в сумме развернутый угол. Развернутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.

Изобразим прямую MN, отметим на ней точку A. Получили развернутый угол MAN. Проведем произвольный луч АК с началом в точке А.

Луч АК разделил развернутый угол MAN на два угла: MAK и KAN. Эти два угла и являются смежными.

На рисунке сверху АК – общая сторона, АМ и AN – дополнительные полупрямые. (Напомню, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развернутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна 180 о

Дано: угол AON и угол NOB – смежные.

Доказать: AON +  NOB = 180 о.

Доказательство:

По определению смежных углов, луч ON является общей стороной углов AON и NOB, значит, он проходит между сторонами угла AOB. По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

угол AOB = угол AON + угол NOB

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи ОА и ОВ — дополнительные, значит, образуют развернутый угол АОВ. А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную 180о. Значит,

угол AON + угол NOB =  180о

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с тупым углом, — острый.

Вертикальные углы

Давайте проведем две прямые АВ и CD, пересекающиеся в точке О. Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке луч ОА является дополнительным к лучу ОВ, а луч ОС – дополнительным к лучу OD. Значит, угол АОС и угол BOD – вертикальные. Аналогично, угол AOD и угол BOC – тоже вертикальные.

То есть, при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, уже успели заметить, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны

Дано: угол АОС и угол BOD – вертикальные, угол AOD и угол BOC – вертикальные.

Доказать: угол АОС = углу BOD и угол AOD = углу BOC.

Доказательство:

• развернутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.
• развернутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».

Аналогично доказывается равенство углов .

Измерение углов

1) Каждый угол имеет определенную градусную меру больше нуля.

2) Развернутый угол равен 180о.

3) Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4) Равные углы имеют равные градусные меры.

5) Если два угла имеют равные градусные меры, то они равны.

Сегодня мы говорили о смежных и вертикальных углах и об измерении углов. Мы смогли доказать теоремы. Сумели разобраться со свойствами смежных углов.