Треугольник. Первый признак равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением.

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Прежде, чем изучить первый признак равенства треугольников, вспомним понятие «равные треугольники» – треугольники, которые можно совместить наложением.

Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

Треугольники АВС и А1В1С1 равны

Докажем теорему: если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Теорема. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано АВ=А1В1*АС=А1С1*угол А=угол А1

Доказать: Треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Доказательство.

Если наложить треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1B1 совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B1, так как A1B1 = AB.

Сторона A1C1  совместится со стороной AC, так как ∠A=∠A1. Точка C1 совпадет с точкой C, так как A1C1 = AC. Стороны B1C1 и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме трех признаков равенства (из них мы пока изучили только первый), имеются еще дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.