Четыре замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным – «замечательные». Многие ученики, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, как раз эту тему считают наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются ими достаточно просто.

Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:

• точку пересечения медиан треугольника;
• точку пересечения биссектрис треугольника;
• точку пересечения высот треугольника;
• точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Внимание. Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырех этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.

Обратите внимание, что замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки. А теперь рассмотрим основные положения, которые связаны с замечательными точками треугольника.

Что такое замечательные точки треугольника

Всего замечательных точек четыре. Две из них были открыты Евклидом, когда он вписывал в треугольник окружности. Третью, точку пересечения медиан, обнаружил Архимед. Четвертую, в которой пересекаются высоты треугольника, не упоминалась в трудах Евклида, но описывалась в трудах его современников. Вполне вероятно, что Евклид и Архимед просто упорядочили и записали доказательства теорем, известных задолго до них.

Особенность замечательных точек в том, что они в любом треугольнике являются пересечением трех линий, при этом их свойства не меняются:

• биссектрисы пересекаются в центре вписанного круга;
• перпендикуляры от середин сторон пересекаются в центре описанного круга;
• высоты пересекаются в ортоцентре, точки, симметричные ортоцентру относительно сторон треугольника, находятся на описанном круге;
• медианы пересекаются в барицентре (он же центроид, или геометрический центр).

Точка пересечения биссектрис треугольника

Перед тем, как говорить о точках, поговорим о свойства биссектрисы угла.

Докажем сначала теорему о биссектрисе угла.

Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство

1. Возьмём произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведtм перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK = ML (рис. 224). Рассмотрим прямоугольные треугольники AM К и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM — общая гипотенуза, ∠1 = ∠2 по условию). Следовательно, MK = ML.
2. Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см. рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АМК и AML равны по гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, МК = ML по условию). Следовательно, ∠1 = ∠2. Но это и означает, что луч AM — биссектриса угла ВАС.