Главная » Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

В жизни мы ежедневно сталкиваемся с касаниями. Касаемся предметов или друг друга. А может ли окружность, подобно человеку, чего-то касаться? Давайте узнаем об этом.

Взаимное расположение прямой и окружности

Допустим, перед вами стоит задача начертить прямую и окружность на бумаге. Задумайтесь на секунду: как бы вы сейчас выполнили эту задачу?

Сколько вариантов “окружность + прямая” можно начертить на листе бумаги?

Каждый человек изобразит эти элементы в разных положениях относительно друг друга. Но так ли много разнообразия будет?

На самом деле, существует всего три варианта расположения фигур:

Они не касаются и не пересекаются;
Прямая касается окружности;
Прямая пересекает окружность.

Оказывается, в математике существуют термины для второго и третьего случая. Начнем их рассматривать с касательной к окружности.

Касательная

Касательная – это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

На рисунке АВ – касательная, которая касается окружности в точке А.

Многие вещи, которые нас окружают, имеют плавные формы. Например, если мы посмотрим на цепь велосипеда, она имеет изогнутую форму. Все такие детали можно вычертить, а называться эти чертежи будут сопряжениями.

Сопряжение в черчении – это плавный переход линии в окружность или окружности до окружности. Чтобы построить сопряжения, есть целые законы, которые основаны на касании к окружности.

Свойства касательной

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания.
Если провести две касательных из одной точки, то их отрезки будут равны.
Угол между хордой и касательной равен половине дуги, которая заключена между этими касательной и хордой.

Секущая

Теперь обратим внимание на третий случай, когда прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей.

Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.

Пусть на рисунке АВ – секущая, тогда точки А и В – точки пересечения окружности и секущей.

Вспомни, как мы нарезаем пиццу или пирог. Каждый разрез будет секущей, то есть будет разделять круг на несколько частей.

Свойства секущей

Если из одной точки провести секущую и касательную к окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Если из одной точки провести две секущих к окружности, то произведение первой секущей на ее внешнюю часть равняется произведению второй секущей на ее внешнюю часть.
Угол между двумя секущими равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, которые заключены между секущими.

Три случая расположения прямой и окружности

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из множества точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на одинаковое расстояние.

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от расстояния между центром окружности и данной прямой.

Прямая касается окружности

Если прямая и окружность имеют одну общую точку (точку касания), то говорят, что прямая касается окружности и называется касательной.

Теорема 1

Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая называется касательной к окружности.

Доказательство: пусть расстояние от центра Ο окружности до прямой α равно радиусу R окружности (см. рисунок выше). Проведем из центра Ο перпендикуляр ΟA на эту прямую. Тогда ΟA = R. Для любой другой точки B на прямой α наклонная ΟB будет больше перпендикуляра ΟA, значит, больше R. Из этого следует: расстояние от любой точки прямой α, отличной от A, до центра Ο больше R. Это значит, что прямая α и окружность имеют одну общую точку A, т.е. прямая касается окружности.

Следствие: касательной к окружности называется прямая, проходящая через одну из ее точек и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку.

Прямая не касается окружности

Прямая и окружность могут не иметь общих точек.

Теорема 2

Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то у таких прямой и окружности нет общих точек.

Доказательство: пусть расстояние от центра Ο окружности до прямой α больше радиуса R (см.рисунок выше). Проведем из центра Ο перпендикуляр ΟA на эту прямую. Получим ΟA > R. Для любой другой точки B на прямой α наклонная ΟB будет больше перпендикуляра ΟA, и следовательно, больше R. Таким образом, расстояние от любой точки прямой α до центра Ο больше R. Значит, прямая α и окружность не имеют общих точек.

Прямая и окружность пересекаются

Осталось рассмотреть случай, когда окружность и прямая имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей.

Теорема 3

Теорема: если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность пересекаются.

Доказательство: пусть прямая α не проходит через центр окружности. Опустим из центра окружности Ο перпендикуляр ΟA на прямую α (см. рисунок выше). Его длина по условию меньше радиуса R, следовательно, точка A лежит внутри окружности. С другой стороны на прямой есть точки B1 и B2 , лежащие вне окружности. Отрезки AB1 и AB2 соединяют точку A, лежащую внутри окружности, с точками B1 и B2 , лежащими вне окружности.

Примем без доказательства: если отрезок соединяет точку, лежащую внутри окружности, и точку, лежащую вне окружности, то он имеет с окружностью одну общую точку. Тогда отрезки AB1 и AB2 имеют с окружностью общие точки C1 и C2 , которые являются искомыми точками пересечения прямой α и окружности.

Касание окружностей

Мы уже рассмотрели касание прямой и окружности. А теперь подумайте, могут ли две окружности касаться друг друга?

Если у окружностей одна общая точка, то они являются касающимися друг к другу.

И есть даже несколько вариантов такого касания

Внешнее, когда окружности лежат по разные стороны от точки касания.

Внутреннее, когда одна окружность как бы “лежит” в другой.

Касание окружностей нередко применяется при создании ювелирных украшений. Получаются неповторимые и очень красивые образы.

Какие окружности изображены на олимпийском флаге?

Как мы уже определили, окружности могут касаться друг друга. Но есть еще один вариант их взаимного расположения: окружности пересекаются друг с другом. В этом случае они будут иметь две общие точки. Пересекающиеся окружности изображены на олимпийском флаге, их там целых 5. По одной из версий, они обозначают 5 частей света.

Рассмотрим свойство касающихся окружностей:

Прямая, построенная через центры таких окружностей, включает точку касания.

Если мы построим прямую через центры окружностей А и В, то на этой же прямой будет лежать точка касания С.

Фактчек

Прямая и окружность имеют три варианта взаимного расположения: не пересекаться, касаться или пересекать друг друга.
Касательная – это прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней только одну общую точку. Касательная перпендикулярна радиусу, который проведен в точку касания.
Секущая – это прямая, которая проходит через окружность и имеет с ней две точки пересечения.
Если провести из одной точки касательную и секущую, то квадрат касательной будет равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Две окружности также могут касаться друг друга. Касание может быть как внешним, так и внутренним. При этом если соединить центры окружности прямой, то на этой же прямой будет лежать точка касания.

Пояснение на примерах

Точка А расположена вне окружности радиуса R и удалена от центра О этой окружности на расстояние d. Чему равно наименьшее расстояние от точки А до точек данной окружности?

Пусть В — точка пересечения окружности с от резком ОА. Покажем, что расстояние АВ является наименьшим из возможных от точки А до точек окружности. Действительно, для любой другой точки С окружности выполняется неравенство : АВ + ВO < АС + СO. Так как ВО = СО = R, получим АВ < АС. Учитывая, что АО = d, ВO = R, получаем, что искомое наименьшее расстояние равно длине отрезка АВ = d − R.

А теперь давайте проверим, чему вы научились на этом уроке.

Задание 1. Как называется прямая, которая проведена к окружности и имеет с ней одну общую точку?