Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность. Для треугольника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а ее центр находится внутри окружности.

СУЩЕСТВУЮТ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ, БЛАГОДАРЯ КОТОРЫМ И МОЖНО ПРОИЗВЕСТИ РАЗЛИЧНЫЕ РАСЧЕТЫ. РАССМОТРИМ ИХ.

• Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: r=S/p, где S — площадь треугольника, а p=(a+b+c)/2 — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
• В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
• Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: R=(a⋅b⋅c)/4S, где S — площадь треугольника.

Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной.

• Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

• Радиус вписанной окружности находят по формулам: r=(a⋅b)/(a+b+c), и r=(a+b−c)/2, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

• Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
• Радиус равен половине гипотенузы: R=c/2.
• Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: R=mс.

Четырехугольник, описанный около окружности

• Четырехугольник ABCD можно описать около окружности, если суммы противолежащих сторон равны AB + CD = BC + AD. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы противолежащих сторон равны. Площадь: S=p⋅r, где r — радиус вписанной окружности, а p=(a+b+c+d)/2 — полупериметр.

Перед собой вы видите четырехугольник ABCD, треугольник STF и четырехугольник MNPQ. Заметим, что четырехугольник ABCD и треугольник STF описаны около окружности с центрами в точке О. Что нельзя сказать о четырехугольнике MNPQ. Он не является описанным около окружности с центром О, так как его сторона NP не касается окружности.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Для начала рассмотрим свойства вписанной окружности.

1. Окружность можно списать в любой треугольник.
2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противоположных сторон равны.

Так, окружность можно вписать в ромб или квадрат, но нельзя вписать в прямоугольник или параллелограмм.

Сформулируем и докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.

В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрисы его углов. Напомним, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой О.

Обратите внимание, точка О равноудалена от сторон угла A, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена и от сторон углов B и C. Т.е. точка О равноудалена от трех сторон треугольника ABC. Проведем из точки О перпендикуляры OK к AB, OL к BC, OM  к AC.

Так как точка О равноудалена от сторон этого треугольника, то перпендикуляры OK=OL=OM. Значит, окружность с центром в точке О и радиусом равным OK, проходит через точки K, L и M. Таким образом, окружность касается всех трех сторон треугольника ABC. Следовательно, она вписана в треугольник.

Теорема доказана.

Из данной теоремы вытекают следствия.

В треугольник можно вписать только одну окружность.

В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Докажем это утверждение. Рассмотрим четырехугольник ABCD, описанный около окружности с центром О. Напомним, что отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда касательные к окружности, выходящие из точки А равны. Аналогично, равны и касательные, выходящие из точек В, С и D.

Обозначим равные отрезки касательных маленькими буквами а, b, c и d соответственно. Тогда, смотрите, сумма противоположных сторон четырехугольника АВ+CD=a+b+c+d.

Аналогично, и сумма сторон BC+AD=a+b+c+d. Раз равны правые части равенств, то можем приравнять их левые части. Тогда видим, что AB+CD=BC+AD. Следовательно, суммы противоположных сторон в описанном четырехугольнике равны.

Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Для начала рассмотрим свойства описанной окружности.

1. Окружность можно описать около любого треугольника.
2. Окружность можно описать вокруг любого четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

Таким образом, окружность можно описать около квадрата или прямоугольника, но нельзя описать около ромба или параллелограмма.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

На рисунке изображена окружность с радиусом R и центром описанная около треугольника АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (на рисунке выше). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Итог

Итак, на этом уроке мы доказали, что в любой треугольник можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Мы также доказали, что около любого треугольника можно описать окружность, и ее центр совпадет с точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Кроме того, мы увидели, что в некоторые четырехугольники можно вписать окружность, и для этого нужно, чтобы суммы противоположных сторон четырехугольника были равны.

Мы также показали, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность, и необходимым и достаточным условием для этого является равенство суммы противоположных углов.