Теорема Пифагора и обратная ей, формула Герона

Пифагор Самосский (580-500 гг. до н. э. или по другим источникам — 570-490 гг. до н. э.) — древнегреческий математик и философ, родоначальник школы пифагорейцев.

Этого человека можно смело назвать легендарной личностью. Пифагор был великим математиком, мистиком, философом, основал религиозно-философское течение (пифагореизм), являлся политическим деятелем, оставившим труды в качестве наследства потомкам.

Он был философом, всецело верящий в переселение душ. Согласно его убеждениям, человек имеет божественную природу, но в ходе эволюции он утратил связь с духовным началом и оказался облечен в материальное тело.

Пифагора по праву называют не только великим мыслителем, но и создателем первого в мире научного сообщества. Основанная им в Кротоне философская школа объединяла поддерживавших друг друга единомышленников, занимавшихся наукой и строивших собственные политические теории.

Сложно представить, но в научной литературе существует 367 доказательств теоремы Пифагора. В школьной программе мы проходим гораздо меньше — в этом материале познакомимся с главными формулами и их доказательствами.

Длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника связаны друг с другом. Найти соотношение между ними можно, используя понятие площади. Само же это соотношение называют теоремой Пифагора.

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью мы можем находить диагонали некоторых четырехугольников, длины высот, вычислять площади.

Основные понятия теоремы Пифагора

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c2 − b2

• b = √c2 − a2
• c = √a2 + b2

Запоминаем в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

• если c2 < a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
• если c2 = a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
• если c2 > a2 +b2, значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

• Проведем высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
• Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике △ABC выполняется равенство AB2=AC2+BC2.

Докажем, что ∠C=90∘.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1

с прямым углом ∠C1, у которого A1C1=AC и B1C1=BC.

По теореме Пифагора A1B21 =A1C2 1 +B1 C2 1 и, значит, A1B2 1=AC2+BC2=AB2, то есть A1B1=AB.

Тогда треугольники ABC и A1B1C1 равны по третьему признаку равенства, следовательно, ∠C=∠C1=90∘.

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

•     Пусть катеты a = 6 и b = 8.
•     По теореме Пифагора c2 = a2 + b2.
•     Подставим значения a и b в формулу: c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 c = √100 = 10.

Ответ: 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Как решаем:

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 145

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Формула Герона

Формула Герона носит такое название в честь греческого математика и инженера Герона Александрийского. Он жил в I веке нашей эры. Герон занимался механикой, оптикой, геометрией и гидростатикой. Ученый интересовался треугольниками с целочисленными сторонами и целочисленными площадями. Такие фигуры получили название Героновых треугольников.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Замечательно, что свойство указанное в теореме Пифагора, можно назвать  характеристическим свойством прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора.

Формулировка теоремы Герона

Формула Герона – это арифметическая формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон. В таком случае площадь равна корню из произведения разностей полупериметра и каждой из его сторон.

Формула Герона выглядит следующим образом:

S=√p(p−a)(p−b)(p−c)

где S – это площадь треугольника; a, b, c – это стороны треугольника; p – это полупериметр треугольника.

Чтобы вычислять полупериметр, нужно пользоваться формулой:

p=(a+b+c)/2

Приведем доказательство.

Для этого рассмотрим треугольник ABC.

|AB|=c, |BC|=a, |AC|=b

CH – высота треугольника.

|CH|=h, |AH|=x, |BH|=y

Тогда c=x+y.

По теореме Пифагора из треугольников ACH и BCH получаем:

h2=b2−x2=a2−y2

Из этого:

y2−x2=a2−b2

(y−x)(y+x)=a2−b2

x+y=c

Соответственно:

(y−x)c=a2−b2 и y−x=1/c*(a2−b2)

Если сложить последнее равенство с y+x=c, то получается

y=(c2+a2−b2)/2c

Найдем высоту треугольника.

h2=a2−y2=(a−y)(a+y)=(a−(c2+a2−b2)/2c)(a+(c2+a2−b2 )/ 2c)=(2ac−c2−a2+b2)2c×(2ac+c2+a2−b2 )/2c=(b2−(a−c)2 )/2c×((a+c)2−b2 )/2c=((b−a+c)×(b+a−c))/2c×((a+c−b)×(a+c+b))/2c

Так как p=1/2(a+b+c), то b+c=2p−a,a+b=2p−c, a+c=2p−b, a+b+c=2p.

С помощью этих равенств найдем высоту.

h2=((2p−2a)(2p−2c)(2p−2b)2p)/4c2=(4p(p−a)(p−c)(p−b))/c2

А так как S=(1/2)ch, то теорема доказана.

Для каких треугольников действует теорема

Применение формулы Герона допустимо для треугольников, у которых известны длины всех их сторон.

Формула Герона

Выведем формулу, выражающую плоскость треугольника через длины его сторон. Эту формулу связывают с именем Герона Александрийского — древнегреческого математика и механика, жившего, вероятно в 1 в.н.э. Герон много уделял внимания практическим приложениям геометрии. Об этом, собственно, я говорила выше.

S= √ p(p-a)(p-b)(p-c)

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Внимание. Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Полупериметр (p) вычисляется таким образом: р= (а+в+с)/2

Доказательство.

Дано: треугольник ABC, АВ= с, ВС= а, АС= b. Углы А и В, острые. СН — высота.

Доказать:

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB=c , BC=a, AC=b. Во всяком треугольнике, по крайней мере, два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Tогда основание H высоты CH треугольника лежит на стороне AB. Введем обозначения: CH = h, AH=y, HB=x. по теореме Пифагора a2 — x2 = h2=b2-y2, откуда

Y2 — x2 = b2 — a2, или (y — x) (y + x) = b2 — a2, а так как y + x = c, то y- x = (b2 — a2).

Складывая два последних равенства, получаем:

(b2-a2)/с

потом  (b2+c2-a2)/2с

а потом h2 = b2-y2=(b — y)(b+y)=

(b2+c2-a2)/2c ((b+c)2-a2)/2с  (а2-(b2-a2))/2c  (4p(p-a)(p-b)(p-c))/с2   2√(p(p-a)(p-b)(p-c))/с

Следовательно, h = .(1/2)hc

Но S= S= √ p(p-a)(p-b)(p-c), откуда и получаем формулу Герона. Теорема доказана.

Примеры задач

Задание 1

Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение Для начала найдем полупериметр:p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения: S = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10) = √12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см2.

Задание 2

В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение Пусть гипотенуза – это c, известный катет – a, а неизвестный – b.

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b:b2 = c2 – a2 = 152 – 92 = 144 см2, следовательно, b = 12 cм.

Полупериметр треугольника равен:p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:S = √18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15) = √18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см2.