Многоугольники

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник».

С частным случаем многоугольников мы уже знакомы – это треугольник.  В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, если изобразить пятиугольник, то понятно, что это будет фигура с пятью углами.

Многоугольники — коротко о главном

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять n каких-либо точек A1, A2, …, An и соединить их последовательно отрезками.

Точки A1, A2, …, An — вершины многоугольника.

Отрезки A1A2, A2A3, …, AnA1 – стороны многоугольника.

Многоугольник с n сторонами называют n-угольником.

Например: многоугольник c 4 сторонами называют четырехугольником, многоугольник с 6 сторонами — шестиугольником и так далее по аналогии.

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике, имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника.

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук)

Теперь надо познакомиться с видами многоугольников. Они делятся на выпуклые и невыпуклые.

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Но существует и другое определение выпуклости многоугольника.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна

180∘⋅(n−2) или α1+α2+ … +αn,

где αn – внутренний угол многоугольника.

Правильный выпуклый многоугольник – многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного n-угольника равен α=n−2n⋅180∘.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: S=pr, где p=A1A2+A2A3+…+AnA12.

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна 180o(n−2), где буква «n» означает число углов многоугольника.

Треугольник

180∘(3−2)=180∘

Четырехугольник

180∘(4−2)=360∘

Пятиугольник

180∘(5−2)=540∘

Шестиугольник

180∘(6−2)=720∘

Сумма углов многоугольника

А теперь давайте разберемся, откуда же взялась формула суммы углом многоугольника 180∘(n−2).

Зачем?

Интересный приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач.

Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.

Итак, давайте разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин: n

Из вершины B можем провести диагонали во все вершины, кроме:

• Самой вершины B
• Вершины A
• Вершины C

Значит всего диагоналей (n−3). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на n−2. Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно n−2 треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник.

Чему равна сумма углов треугольника? Помните? Конечно 180∘.

Ну вот, n−2 треугольника, в каждом по 180∘, следовательно:

Сумма углов многоугольника равна 180∘(n−2)

Вот и доказали.

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны.

Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна 180∘(8−2)=1080∘.

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем ∠A можно найти:

∠A=1080∘8=135∘.

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника

Чтобы описать свойства многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника и теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Доказательство 1. Изобразим на рисунке выпуклый n-угольник.

Из вершины проведем все возможные диагонали. Они делят n-угольник на треугольника, т.к. каждая из сторон многоугольника образует треугольник, кроме сторон, прилежащих к вершине . Легко видеть по рисунку, что сумма углов всех этих треугольников как раз будет равна сумме внутренних углов n-угольника. Поскольку сумма углов любого треугольника – , то сумма внутренних углов n-угольника: что и требовалось доказать.

Доказательство 2. Возможно и другое доказательство этой теоремы. Изобразим аналогичный n-угольник на следующем рисунке и соединим любую его внутреннюю точку со всеми вершинами.

Мы получили разбиение n-угольника на n треугольников (сколько сторон, столько и треугольников). Сумма всех их углов равна сумме внутренних углов многоугольника и сумме углов при внутренней точке, а это угол . Имеем: что и требовалось доказать.

Доказано.

По доказанной теореме видно, что сумма углов n-угольника зависит от количества его сторон (от n). Например, в треугольнике , а сумма углов . В четырехугольнике , а сумма углов – и т.д