Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0

Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

АС= (1/2)ВС

Признаки равенства:

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного равны катетам другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и сторона одного равны острому углу и стороне другого.

Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Раньше при изучении теоремы Пифагора было популярно следующее выражение: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Смешно, пожалуй? Но зато все сразу становится понятным. Посмотрите на следующий рисунок, на котором эти «штаны» изображены.

Соотношение углов и сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые попарно пересекаются в трех точках, называемых вершинами треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла.

Стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен 90 градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.  

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45 градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 60 градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на √3.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на  √2.
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С

Для острого угла В: АС — противолежащий катет; ВС — прилежащий катет.

Для острого угла А: ВС — противолежащий катет; АС — прилежащий катет.

• Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике АВС для острого угла В:

sin⁡B=AC/AB;

cos⁡B=BC/AB;

tgB=AC/BC;

ctgB=BC/AC.

• В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
• Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
• Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

sinBOA=sinBOC;

cosBOA=−cosBOC;

tgBOA=−tgBOC;

ctgBOA=−ctgBOC.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

S=(AC∙BC)/2

Пример:

В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, sin⁡A=4/5,AC=9. Найдите АВ.

Решение:

Распишем синус угла А по определению:

sin⁡A=ВС/АВ=4/5

Так как мы знаем длину катета АС и он не участвует в записи синуса угла А, то можем ВС и АВ взять за части 4х и 5х соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать «х»

АС2+ВС2=АВ2  

92+(4х)2=(5х)2

81+16х2=25х2

81=25х2−16х2

81=9х2

9=х2

х=3

Так как длина АВ составляет пять частей, то 3∙5=15

Ответ: 15

В прямоугольном треугольнике с прямым углом С и высотой СD:             

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

CD2=DB∙AD

В прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

CB2=AB∙DB

AC2=AB∙AD

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

AC∙CB=AB∙CD

Для закрепления материала предлагаю разбиться на пары и задать друг другу 3-4 вопроса по изученной теме.