Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Внимание

Свойство. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0

Свойство. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

АС= (1/2)ВС

Запомните

Признаки равенства:

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного равны катетам другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного равны гипотенузе и катету другого.

Теорема. Два прямоугольных треугольника равны, если острый угол и сторона одного равны острому углу и стороне другого.

Запомните

Теорема Пифагора

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Запомните

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Раньше при изучении теоремы Пифагора было популярно следующее выражение: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Смешно, пожалуй? Но зато все сразу становится понятным. Посмотрите на следующий рисунок, на котором эти «штаны» изображены.

Запомните

Соотношение углов и сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые попарно пересекаются в трех точках, называемых вершинами треугольника.

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

В треугольнике большая сторона лежит против большего угла.

Стороны и углы треугольника связаны следующими соотношениями.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен 90 градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.  

Соотношение между сторонами и углами треугольника

Внимание

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
  2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 45 градусов, то этот треугольник равнобедренный.
  3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
  4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 60 градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на 3.
  5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на  2.
  6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
  7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Запомните

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С

Для острого угла В: АС — противолежащий катет; ВС — прилежащий катет.

Для острого угла А: ВС — противолежащий катет; АС — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике АВС для острого угла В:

sin⁡B=AC/AB;

cos⁡B=BC/AB;

tgB=AC/BC;

ctgB=BC/AC.

  1. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  2. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  3. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

sinBOA=sinBOC;

cosBOA=−cosBOC;

tgBOA=−tgBOC;

ctgBOA=−ctgBOC.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

S=(AC∙BC)/2

Пример:

В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, sin⁡A=4/5,AC=9. Найдите АВ.

Решение:

Распишем синус угла А по определению:

sin⁡A=ВС/АВ=4/5

Так как мы знаем длину катета АС и он не участвует в записи синуса угла А, то можем ВС и АВ взять за части 4х и 5х соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать «х»

АС2+ВС2=АВ2  

92+(4х)2=(5х)2

81+16х2=25х2

81=25х2−16х2

81=9х2

9=х2

х=3

Так как длина АВ составляет пять частей, то 3∙5=15

Ответ: 15

В прямоугольном треугольнике с прямым углом С и высотой СD:             

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

CD2=DB∙AD

В прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

CB2=AB∙DB

AC2=AB∙AD

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

AC∙CB=AB∙CD

Для закрепления материала предлагаю разбиться на пары и задать друг другу 3-4 вопроса по изученной теме.

Остались вопросы?
Наши репетиторы помогут
  • Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны

  • Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам

  • Повысить успеваемость по предметам

Остались вопросы?
вверх