Рациональные числа

Рациональные числа. Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел отображают буквой Q. 

Пример

 0,6 =  (где a = 6, n = 10). 

–  = – 7 ( числитель) и 8 (знаменатель), где a = -7, n = 8.

Любое целое число a рациональное, потому что его можно преобразовать в отношение .

Пример

6 =  , где  a = 6, n  = 1.

– 9 =  , где a  = – 9,  n = 1. 

Связь натуральных и целых чисел с множеством рациональных чисел

Каждое натуральное и отрицательное целое число можно отобразить в виде дробного числа 17 =  , – 6 = . Число 0 также можно представить в виде дроби 0 =  =  . 

Отсюда следует вывод

Натуральные и целые числа являются рациональными.

Множество натуральных чисел n и целых чисел z выступают подмножеством множества рациональных чисел Q. 

Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Пример

  +  = . 

Разность двух рациональных чисел всегда будет рациональным числом.

Пример

1  –  = 1 .

Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Пример

– 5 х  = –  . 

Частное двух рациональных чисел также рациональное число. Исключением является деление на ноль.

Пример

 : 0,4 = .

Свойства действий с рациональными числами

Сложения рациональных чисел

a, b, c –  рациональные числа

1. Переместительное: a + b = b + a.
2. Сочетательное: а + (b + с) = (а + b) + с
3. Прибавление нуля: а + 0 = а
4. Сложение противоположных чисел: а +(-а) = 0

Пример

Найти значение выражения

– 3  – 2,29 + 5,45 – 1  + 2,29 – 14,45 =

(противоположные числа в сумме дают 0, дроби с разными знаменателями удобно объединить, а также отдельно выполнить действия с десятичными дробями. Для этого используем переместительный закон сложения)

= – 3  – 1  – 2,29 + 2,29 – 14,45 + 5,45 = – 4 – 9 = – 13 . 

Умножения рациональных чисел

Свойства умножения неотрицательных чисел справедливо и для любых рациональных чисел. 

a, b, c –  рациональные числа

1. Переместительное:  а х b = b х а. 
2. Сочетательное: а х (b х с) = (а х b) х с.
3. Умножение на ноль: а х 0 = 0.
4. Умножение на единицу: а х 1 = а.
5. Умножение на обратное число: а х  = 1, если а  ≠0. 

Пример

Найти значение выражения

– 4 x 15 x 0,25 х (-3)

(количество минусов в произведении четное, поэтому результат будет положительным. Объединим пару чисел, которые легко перемножить 4 и 0,25, 3 и 15. Используя переместительное свойство можно переставить множители)

= 4 x 0,25 х 15 x (-3) = 1 x 45 = 45. 

Пример

Найти значение выражения

 x (- 6,98) x 0 х 312 х 5  = 0

(если один из множителей равен 0, то и произведение равно 0) 

Пример

Найти значение выражения

x (-0,25) x  x (- 40) =

(произведение обратных чисел равно единице. А умножение на единицу не меняет значение произведения)

=  х  х (-0,25) х (-40) = 10.

Распределительное свойство умножения относительно сложения для рациональных чисел.

Для любого рационального числа a, b и c верно равенство: (а + b) х с = ас + bс.  

Распределительное свойство умножения сохраняется и в обратную сторону: ас + bс = (а + b) х с.

Пример

Вычислить

– 12 х (- +  =  

(раскроем скобки используя распределительное свойство умножения, обрати внимание что перед скобками находится знак «-» который при раскрытии скобок меняет знак на противоположной)

= 12 х  – 12 х  = 9 – 8 = 1.

Пример

Вычислить

 х  +  х

(при вычислении удобно общий  множитель  вынести за скобку)

= х (  +  ) =  х  = .