Сложение и вычитание натуральных чисел

Представлять сумму можно на примере натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

Нужно сложить два числа 6 и 4. Для этого в натуральном ряду от числа 6 надо отсчитать вправо 4 числа, получается число 10 или: 6 + 4 = 10.

Можно сделать и по-другому, сначала найти в ряду число 4 и от него отсчитать 6 цифр, все равно получится 10: 4 + 6 = 10.

Правило

При перестановке местами в записи слагаемых, итоговая сумма не поменяет свое значение.

Иными словами: 4 + 6 = 6 + 4.

Такое свойство называют переместительным законом сложения – от перемены мест слагаемых сумма не изменяется: a + b = b + a.

Например

Необходимо сложить три числа 1, 5, 9.

Для этого в натуральном ряду от числа 1 отсчитываем 5 цифр, получаем число 6, а затем еще отсчитываем 9, получаем число 15:

1, 2, 3 ,4, 5, 6 ,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17…

(1 + 5) + 9 = 15.

Можно найти в ряду сначала число 5, отсчитать от него вправо одну цифру, получаем число 6, затем отсчитаем еще 9 цифр, получаем число 15:

5 + (1 + 9) = 15.

Таким образом, получается равенство:

(1 + 5) + 9 = 5 + (1 + 9)

Для произвольных чисел а и ƅ применимо равенство: (a + b) + c = a + (b + c).

Оно выражает сочетательный закон сложения — для того, чтоб к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего.

Для произвольного натурального числа а справедливы равенства:

а + 0 = а

0 + а = а

0 + 0 = 0

Пример

Необходимо сложить числа 89, 246, 54, т.е. найти значение выражения 89+246+54.

Рассуждаем так, числа 246 и 54 проще сложить, потому что сумма разряда единиц 4+6=10, поэтому считаем:

89+246+54=89+(246+54)=89+300=389.

Пример

Нужно найти значение выражение 45278+23445+54722+76555.

Воспользуемся сочетательным законом сложения и сгруппируем слагаемые так, чтоб их было легче складывать:

(45278+54722)+(23445+ 76555)=100 000+100 000=200 000.

Вычитание

Разностью произвольных чисел а и ƅ называется третье число с, которое можно представить следующим выражением: a – b = c.

Число а называют уменьшаемым, а число ƅ – вычитаемым. Итог вычитания, т.е. число с, называют разностью.

Внимание!

Разность – это итог вычитания большего числа из меньшего, а также она показывает насколько первое число больше второго.

Таким образом, разность показывает разницу между произвольными числами.

Если действовать только с натуральными числами, то уменьшаемое всегда больше вычитаемого.

Пример

Необходимо найти значение выражения 10 – 4:

10 – 4 = 6, т.к. 4 + 6 = 10.

Можно показать разность на примере натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Необходимо найти в ряду показатель 10 и отсчитать от него влево 4 цифры, получается число 6.

Правило вычитание из числа суммы двух и более чисел

Чтобы из числа вычесть сумму двух слагаемых, можно из этого числа вычесть сначала одно слагаемое, а затем из полученной разности вычесть следующее слагаемое.

a – (b + c) = a – b – c.

Пример

Необходимо найти значение выражения 79 – (19 + 24).

Вычисления можно произвести двумя способами:

1. Сначала выполняется действие в скобках, а потом из 79 вычитается результат

79 – (19 + 24) = 79 – 43 = 36.

2. Если посмотреть внимательно, можно увидеть, что 79 и 19 заканчиваются цифрой 9, следовательно, из первого числа будет удобно вычесть второе, а затем третье.

79 – (19 + 24) = 79 – 19 – 24 = 60 – 24 = 36.

Правило вычитания числа из суммы чисел

Если необходимо из суммы двух слагаемых вычесть другое число, то можно это число сначала вычесть из одного слагаемого (при условии, что оно больше вычитаемого) и добавить полученную разность к другому слагаемому.

(а + ƅ) – с = а – с + ƅ

Пример

Необходимо найдите разность суммы чисел 19 и 5 и числа 9.

1. Вычислим сумму в скобках. Затем от полученного числа отнимем 9.

(19 + 5) – 9 = 24 – 9 = 15.

2. Используя правило, вычтем из 19 число 9, а затем к результату вычитания добавим 5.

(19 + 5) – 9 = 19 – 9 + 5 = 10 + 5 = 15.