Степень числа. Квадрат и куб числа

Важно знать. Сумму:

4+4+4=4*3 можно свернуть в виде произведения

Произведение 4*3 можно записать короче: 4*5=4³

Степень числа а это произведение нескольких множителей

a*a*..*a=a^n

Читается такая запись как а в степени n

a – основание степени, n – показатель степени.

В степень можно возвести любое число, однако если единицу возвести в степень то это всегда будет единица

1³=1

1²=1

Любое число а в степени 1 равно самому а

а^1=а

Например:

2²=2*2=4

Обратите внимание. Существуют также специальные степени, имеющие стандартное название.

Например:

а² – квадрат числа а (запись выглядит так же как площадь квадрата)

а³- куб числа а

а²=а*а

а³=а*а*а

Обратите внимание. Важно помнить, что и в числовых и в буквенных выражения при наличии степенного значения оно выполняется в первую очередь.

1. (7-2)²*5²+6³:(245-236) = 5²*5²+216:9 = 25*25+24=625+24=649

Решим уравнение:

2. 11²-2х=135:5

121-2х=27

2x=121-27

2x=94

x=94:2=47

Проверка

121-94=27

27=27

3. 4²x-3³=5

16х-27=5

16х=5+27

16х=32

х=32:16

х=2

Проверка:

16*2-27=5

32-27=5

5=5

Важно знать. Ещё в Древнем Египте как и в Древнем Вавилоне математики вычисляли степень, однако они это делали как отношение одинаковых показателей. Однако понятие степени тогда ещё не вводилось.

Запомните. В третьем веке нашей эры древний грек Диофан Александрийский описал в своей арифметике первые несколько степеней: от а²,а³

а^4=а²*а² – квадрат квадрата

а^5=а²*a³- квадратокуб

а^6=а³*а³ – кубокуб

Эти названия затормозили дальнейшее развитие степени. Однако ими пользовались вплоть до 16 века.

Немецкие математики издавали свои труды и хотели сократить запись. В этом преуспел Михель Штифель в «Полной арифметике».

В 16 веке итальянский математик Рафаэль Бомбелли в книге «Алгебра» использовал идеи француза Николя Шюке и начал вводить современное понятие степени.

Он надписывал показатель степени почти как современные математики и школьники. То есть показатель был вверху над числом и гораздо меньшим по размеру в сравнении с основанием степени.

Однако это были лишь попытки, а не появление осознанного термина.

Николя Шюке в работе «Наука о числах в трёх книгах» рассматривал степени с отрицательными и нулевыми показателями.

Попытки немецких математиков повлияли на нидерландского математика Симона Стевина.

Несмотря на то, что Стевин взял идею Бомбелли, его реализация была направлена по отношению к неизвестной величине.

Важно знать. Неизвестное обозначалось буквой о, а в середине был показатель степени. Симон Стевин использовал название степени не так, как большинство математиков прошлых лет и его современников. Он называл степень по показателям – а^4 звучало как а в четвёртой степени.

Его идеи продолжил Рене Декарт в «Геометрии». Он обозначил а квадрат, а в четвёртой степени. Однако он не соглашался заменять а*а на а².

Запомните. Только знаменитый немецкий математик Лейбниц воспринял всю символику Декарта и обозначал ее в привычных нам современных символах.

Благодаря Декарту и Лейбницу современные степени приобрели краткий, понятный для всех вид.

Вывод. Появление степени числа намного упростило запись умножения одинаковых множителей и сократило время на их перемножение.