Угол. Прямой и развернутый угол. Измерение углов.

На плоскости можно изобразить любую фигуру. Такими фигурами могут быть луч, отрезок, прямая.

Нанесем на плоскость произвольную точку К и проведем от нее два луча КМ и КР. Таким образом, получилась новая плоская геометрическая фигура – угол.

Определение

Угол – это часть плоскости, которую ограничивают два луча, исходящие из единого центра.

Называют угол латинскими буквами (заглавными) и обозначают при записи знаком «∠».

Лучи КМ и КР называют сторонами угла, а единую точку К – вершиной угла. Когда записывают название угла, то в середине указывают ту точку, которая является именно вершиной угла.

Таким образом, получился ∠ КР. Можно называть угол только по его вершине – ∠ К.

Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что угол имеет внутреннюю часть и внешнюю. Отсюда следует, что угол бывает внешним и внутренним.

Расположим точки A, B, C, F, K, M, N в плоскости угла ∠O. На рисунке видно, что точки K, C, F размещены во внутренней части угла, точки M, N во внешней части, а точки A и B лежат на сторонах угла.

Определение

Если один угол можно наложить на другой таким образом, чтоб их вершины и стороны совпали, такие углы называют равными.

Рассмотрим произвольные углы ∠КМВ, ∠АВС, ∠LΝВ.

1.       Сравним углы ∠КМВ и ∠АВС, т.е. соединим вершины углов и одну из сторон. Проделав эту работу, можно отметить, что вторые стороны углов при этом не совпали, а значит    ∠КМВ ≠ ∠АВС.
2.       Теперь сравним углы ∠КМВ и ∠LΝВ аналогичным способом. Из рисунка видно, что вершины и обе стороны углов совпали при наложении друг на друга, а значит             ∠КМВ = ∠LΝВ.

Возьмем для изучения произвольный ∠COB. Из его вершины проведем дополнительный луч OA, который разделит его на два дополнительных угла — ∠AOC и ∠BOA. При этом можно отметить, что эти углы меньше ∠ COB.

Для отображения этих параметров составляют следующую запись:

∠ AOC ‹ ∠ COB

∠ BOA ‹∠ COB

Вместе эти углы образовывают ∠ COB:

∠ AOC +  ∠ BOA = ∠ COB

Развернутый угол

Определение

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол.Сторонами такого угла является прямая линия, на которой лежит вершина развернутого угла.

Лучи ОA и ОB являются дополнительными друг другу. Они образуют развернутый угол ∠AOB. Точка О, вершина угла, лежит на прямой AB.

Прямой угол

Рассмотрим развернутый ∠АОВ. Проведем из его вершины луч СО так, чтоб этот луч разделил угол ∠ АОВ на два равных угла.

Получили углы ∠АОС и ∠СОВ. Поскольку из условия построения углов новообразованные углы равны половине развернутого угла, то можно сделать следующую запись:

∠ АОС = ∠ СОВ =  ∠ АОВ

Такие углы называют прямыми, т.е. ∠ АОС и ∠ СОВ – прямые углы.

Прямой угол можно построить при помощи чертежной линейки-треугольника.

Алгоритм построения прямого угла

Для того, чтоб построить прямой луч, стороной которого является луч АВ, надо:

1.       Расположить линейку-треугольник так, чтобы ее вершина совпала сточкой А, а одна из ее сторон пошла по лучу АВ.
2.       Провести луч АС вдоль второй стороны линейки-треугольника.
3.       Угол ∠САВ – прямой.

Измерение углов

Для того, чтоб измерить или построить угол необходимого размера используют другой измерительный инструмент – транспортир.

На внешней дуге транспортира нанесена шкала измерений – градусы, всего от 0 до 180˚. Таким образом, наибольший угол, который можно измерить или построить, это развернутый угол величиной 180˚.

Алгоритм измерения углов при помощи транспортира:

1.       Прямую часть инструмента накладывают на одну из сторон измеряемого угла, также совмещают центры угла и транспортира.
2.       Вторая сторона угла указывает на шкалу – в месте пересечения стоит отметка о размере угла.