Умножение натуральных чисел и его свойства
Определение
Умножение – это математическое действие, при котором находится сумма одинаковых слагаемых.
Пример
Сравните записи:
14+14+14+14+14=70
14*5=70
Для последнего выражения числа 14 и 5 называют множителями, а число 70 произведением.
Отсюда можно сделать вывод, что сумму одинаковых слагаемых можно представить в виде произведения.
Любое натуральное число а можно умножить на другое натуральное число ƅ – это значит найти значение суммы, которая состоит из ƅ слагаемых, каждое из которых равно а.
При этом а является первым множителем, а число ƅ – вторым множителем, тогда выражение а*ƅ называют произведением.
Примеры:
- Произведение числа 13 и t записывают выражением 13*t;
- Произведение числа 26 и сумма чисел d и s выглядит как 26*(d+s);
- Произведение выражения (а+44) и (v-7)
(а+44) — первый множитель, а (v-7) — второй множитель,
Запись данного выражения — (а+44)*(v-7);
- Произведение трех множителей 11, j, y выглядит так — 11* j*y.
Пример
В виде каких произведений можно представить число 20?
Решение
20=20*1
20=2*10
20=4*5
20=20*1=2*10=4*5.
Преместительное свойство умножения
Определение
При перемене мест множителей произведение не меняет своего значения.
Например, числа а и ƅ натуральные, тогда для них справедливо равенство:
а * ƅ = ƅ * а
Для наглядности: 11*18=198, 18*11=198, 11*18=18*11.
Пример
(3*5)*4=15*4=60 или 3*(5*4)=3*20=40.
Получается 3*(5*4)=(3*5)*4.
Сочетательное свойство умножения
Определение
Если необходимо одно число умножить на произведение двух других чисел, то сначала надо умножить это число на первый множитель, полученное новое произведение умножить на второй множитель. Если числа а, ƅ, и с натуральные, то для них выполняется равенство:
а * (ƅ * с) = (а * ƅ) * с
Способы упрощения записи выражений
- Можно не ставить знак умножения между множителями, выраженные буквами:
4*а=4а,
44*х+32*у=44х+32у.
- Не ставят знак умножения перед скобками:
89*(56-х)= 89(56-х),
(126+e)*(h-57)= (126+e)(h-57)
- При записи произведения, где один множитель выражен цифрами, а другие множители – буквами, на первое место ставят то, что выражено цифрами:
h*89=89h,
d*5*w*s=5 dws
- Если выражение представлено только произведением, то скобки не ставят:
(s*r)*p= srp
Запомни!
Произведение числа 1 с любым натуральным число записывают так: 1*h=1h=h
При умножении числа 0 на произвольное натуральное число делают следующую запись: 0* h=0h=0
Пример
Вычислить 125*(42*80)
Решение
Применим сначала переместительный, а затем и сочетательный закон:
125*(42*80)=125*(80*42)=(125*80)*42=10 000*42=42 000.
Сравнение произведений
Определение
Произведения можно сравнивать при условии, что они содержат одинаковый множитель. При этом большим будет то произведение, у которого больше второй множитель.
Например
Сравним произведения 68*9 и 56*9, они содержат одинаковый множитель 9, в таком случае надо сравнить вторые множители:
68>56, значит справедливо неравенство 68*9 > 56*9.
Определение
Если значения множителей одного произведения больше значений множителей другого произведения, то большим произведением будет то, у которого множители имеют большее значение.
Пример
Определить какое произведение больше. 48*39 и 12*9.
Первое произведение больше, потому что первый множитель первого произведение больше первого множителя второго произведения, а второй множитель первого произведения соответственно больше второго множителя второго произведения.
Ответ — 48*39 > 12*9.
Наши репетиторы помогут
-
Подготовиться к поступлению в любой ВУЗ страны
-
Подготовится к ЕГЭ, ГИА и другим экзаменам
-
Повысить успеваемость по предметам
