Уравнения

Определение

Если равенство содержит в себе неизвестное число (обозначается буквой при записи), который необходимо вычислить, то такое равенство является уравнением.

Для обозначения неизвестного члена при записи уравнения применяют строчные буквы латинского алфавита.

Наиболее часто используются х (икс) и у (игрек).

Определение

Корень уравнения – значение неизвестного члена равенства, при нахождении которого уравнение станет верным.

Решить уравнение – значит вычислить корень или доказать, что равенство не имеет корней.

Если уравнение решается путем нахождение неизвестного члена сложением, вычитанием, делением или умножением, такое уравнение называется простейшим.

Пример

Нужно вычислить неизвестное слагаемое в выражении х + 99 = 125.

Решение

Чтобы определить неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

х + 99 = 125;

х = 125 — 99;

х = 26.

Проверяем: 26 + 99 = 125, 125 = 125.

Пример

Найдите неизвестное уменьшаемое выражения х – 43 = 67.

Решение

Чтоб вычислить неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности добавить вычитаемое.

х – 43 = 67;

х = 67 + 43;

          х = 110.

Проверяем: 110 – 43 = 67, 67 = 67.

Пример

Вычислить неизвестное вычитаемое выражения 148 – х = 39.

Решение

Чтоб определить неизвестное вычитаемое, следует от уменьшаемого отнять разность.

148 – х = 39;

х = 148 – 39;

         х = 109.

Проверяем: 148 – 109 = 39, 39 = 39.

Пример

Вычислить неизвестный множитель в уравнении х * 13 = 234.

Решение

Чтоб определить неизвестный множитель, следует выполнить деление произведения на известный множитель.

х * 13 = 234;

х = 234 : 13;

         х = 18.

Ппроверяем: 18 * 13 = 234, 234 = 234.

Пример

Определить неизвестное делимое в уравнении х : 15 = 11.

Решение

Чтоб вычислить неизвестное делимое, перемножают частное и делитель.

х : 15 = 11;

х = 15 * 11;

          х = 165.

Проверяем: 165 : 15 = 11, 11 = 11.

Пример

Вычислить неизвестный делитель уравнения 96 : х = 32.

Решение

Чтоб определить неизвестный делитель, необходимо поделить делимое и частное.

96 : х = 32;

х = 96 : 32;

х = 3.

Проверяем: 96 : 3 = 32, 32 = 32.

Внимание!

Не каждое уравнение имеет корень.

Пример

х * 0 = 72;

х = 72 : 0.

На ноль делить нельзя, следовательно уравнение не имеет решений (не имеет корней).

Пример

Вычислить корень равенства (х — 48) + 57 = 105.

Выражение х — 48 выступает первым слагаемым. Чтоб определить неизвестное слагаемое, необходимо от суммы отнять известное слагаемое.

х – 48 = 105 – 57;

х – 48 = 48.

Чтоб вычислить неизвестное уменьшаемое, нужно вычитаемое прибавить к разности.

х = 48 + 48;

х = 96.

Проверяем: (96 — 48) + 57 = 105, 105 = 105.

Ответ: х = 96.

Пример

Необходимо решить уравнение 47 — (32 + х) = 10.

В данном равенстве выражение 32 + х  является вычитаемым.

Отсюда следует:

32 + х = 47 – 10;

32 + х = 37.

В полученном уравнении х выступает неизвестным слагаемым.

Находим его:

х = 37 – 32;

х = 5.

Проверяем: 47 — (32 + 5) = 10, 10 = 10.

Ответ: х = 5.

Задача №1

В магазине взвешивали пакет с яблоками. Известно, что на одну чашу весов положили пакет и добавили гирю весом 2кг, а на вторую чашу весов положили гирю весом 7кг и весы уравновесились. Определите массу яблок.

Решение

Для нахождение массы яблок необходимо составить уравнение. Примем вес яблок за х кг, тогда общий вес на первой чаше будет х + 2 кг.

Исходя из условия, гиря на второй чаше в 7 кг уравновесила весы. Теперь можно составить следующее уравнение:

х + 2 = 7;

х = 7 – 2;

 х = 5.

Ответ: вес яблок 5 кг.

Задача №2

Девочка загадала некое число. Затем добавила к нему 5, после чего от суммы отняла задуманное число. После к полученному результату прибавила 7, и получила 12. Нужно вычислить какое же число задумала девочка.

Решение

Примем значение задуманного числа за х, тогда можно составить следующее уравнение:

х + 5 – х + 7 = 12;

х – х + 12 = 12;

х – х = 12 – 12;

х – х = 0;

0 = 0.

В ходе решения получилось верное числовое равенство. Это означает, что оно верно для любого значения х.

Иными словами, какое число не загадала бы девочка, все равно будет получаться значение 12.

Ответ: девочка могла загадать любое произвольное натуральное число.